Ch.3: Multiples et Diviseurs

Mr SECK                                                                                                   Année Scolaire : 2011/2012

Classe : 5e                                                                                                                          Le 09/12/2011

 

Leçon 3 : MULTIPLES ET DIVISEURS

Compétence : Résoudre des problèmes utilisant les notions de : division euclidienne, nombres 1ers, PPMC et PGDC

Objectifs spécifiques :

-          Restituer une division euclidienne, un quotient

-          Déterminer les multiples d’un nombre entier inferieur à un nombre donné

-          Déterminer les multiples communs à 2 ou 3 entiers naturels

-          Justifier qu’un entier naturel est multiple d’un autre

-          Restituer la définition d’un nombre premier

-          Décomposer un entier naturel en produit de facteurs premiers

-          Justifier qu’un entier naturel de deux ou trois chiffres est premier

-          Déterminer le PPCM et PGDC de deux ou trois entiers naturels

I. MULTIPLES D’UN ENTIER NATUREL

1. Activité :

Moussa Ndao, responsable de la 5e A du CEM Amadou Sow Ndiaye, range ses crayons de couleurs dans des boites de 12 unités.

Combien de crayons pourra t – il ranger dans 7 boites ;  15 boites ; 25 boites ; 40 boites ?

Réponse :

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

Retenons : Si a, b et c sont trois entiers naturels tels que

 

alors a est multiple de b

Exemples :

 

Remarque :

0 = 7  0            0 est multiple de 7

0 = 48  0         0 est multiple de 48

0 = 143  0       0 est multiple de 0

Si nous multiplions un nombre par 0, nous obtenons 0, on dit que 0 est multiple de tout  nombre

2. Détermination des multiples d’un entier naturel

* Pour trouver les multiples de a, je multiplie a par tous les entiers naturels : 0 – 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 ……………..

Soit M5 l’ensemble des multiples de 5, on a :

M5 =        0 – 5 – 10 – 15 – 20 – 25……..

De même M6 l’ensemble des multiples de 6 donne

M6 =………………………………………………………………………………………………………

M2 =………………………………………………………………………………………………………

M12 =…………………………………………………………………………………………………

Remarque :

M1 =          ………………………………………….

M1 = quel ensemble ?

M1 =………………………….

M0 =          0

0 est son seul multiple

*Pour trouver les multiples non nuls de a, je multiplie a par  1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7……………………

Exemple :

Ecris l’ensemble A des multiples non nuls de 4

A=          4 – 8 – 13 – 16 – 20 – 24……..

Application :

Trouve six multiples de 2

Réponse : ……………………………………………………………………………………………………………………..

Trouve quatre multiples de 5

Réponse :…………………………………………………………………………………………………………………….

Trouve cinq multiples de 3 inferieurs à 90

Réponse : ………………………………………………………………………………………………………………….

Ecris les multiples non nuls de 8 inferieurs à 143

Réponse :…………………………………………………………………………………………………………………….

Trouve les dix premiers multiples de 10

Réponse :……………………………………………………………………………………………………………………

3. Multiples communs à deux ou trois entiers naturels :

Activité 1 :

Mr Tidiane Ndiaye, Directeur des Etudes du CEM Amadou Sow Ndiaye achète 5 oranges à 150F l’unité et 3 poires à 250F l’unité.

Complete ce tableau

150F 5 = 750F            ;      750 est un ……………………………………………..de 150

 

250F  3  = 750F           ;      750 est un ……………………………………………..de 250

 

750 est un ………………………………………………………………commun à 150 et à 250

 

 

Activité 2 :

Trouve l’ensemble A des dix premiers multiples non nuls de 4

Réponse :………………………………………………………………………………………………

Trouve l’ensemble B des six premiers multiples non nuls de 6

Réponse : …………………………………………………………………………………………………………

L’ensemble des multiples communs à A et à B se note A B (lire A inter B)

Entoure ces multiples communs et complète

A B = ……………………………………………………………………………………………………………

Retenons

Si un entier naturel a est à la fois multiple de deux entiers naturels non nuls b et c, alors on dit que a est un multiple commun à b et à c.

II. DIVISION EUCLIDIENNE ET QUOTIENT EXACT

Activité :

La cinquième A du Collège Amadou Sow Ndiaye compte 28 élèves. Mr Seck, Surveillant du CEM, veut les repartir de façon équitable en 3 rangées

a) Combien d’élèves peut – il avoir dans chaque rangée ?

Réponse :…………………………………………………………………………………………………

b) Restera t – il des élèves ? Si oui, combien ?

Réponse :…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

c) Complete :

 

1. Propriété :

a et b sont des entiers naturels et b non nul (b

 

a =

Dividende

Diviseur

on peut trouver des entiers naturels q et r tels que

a      b

 

Reste

Quotient

r      q

 

q est le quotient de la division euclidienne de a par b

r est le reste de la division euclidienne de a par b

2. Remarque

Si  r = 0      alors       a = b x q

Dans ce cas, on dit que q est le quotient exact de a par b

Si  r = 0   alors  a = b x q

On dit aussi que a est multiple de b

 

74 = 8 x 9 + 2

2. Exemples :

74     8

2       9                                    9 est le quotient euclidien

8 est le reste de la division euclidienne de 74 par 8

 

18 = 6 x 3 + 0

18     6

0      3                                           3 est le quotient exact de la division euclidienne de 18 par 6 (car le

reste = 0). On dit aussi que 18 est multiple de 6

3. Application :

Donne si possible le quotient exact de :

135 par 9                           142 par 8                      165 par 11                           247 par 19

Réponses :

Poser ici les opérations :

 

 

 

 

III. DIVISEURS D’UN ENTIER NATUREL

  1. 1.      Activité :

On veut repartir 150 kg de riz dans des sacs en plastique de 20 kg, de 15 kg, de 30 kg, de 10 kg, de 25 kg

Dans quel cas restera t – il du riz ?

Réponse :

Poser ici les opérations :

 

 

 

 

Remplir le tableau suivant :

b est diviseur de a si r = 0
…………………………………………………………………………………

 

15 est diviseur de 150
…………………………………………………………………………………

 

…………………………………………………………………………………

 

…………………………………………………………………………………

 

Retenons

 

a = b x q

Si a et q sont deux entiers naturels et b un entier naturel non nul ( ) tels que

On dit que b est un diviseur de a

 

150 = 10 x 15

r = 0

2. Exemples

 

 

r = 0

150 = 15 x 10

10 est diviseurde 150

 

15    st diviseur de 150

3. Application

Montre que 15 est diviseur de 345

Réponse : ………………………………………………………………………………………………

Montre que 19 est diviseur de 513

Réponse : …………………………………………………………………………………………………

Montre que 11 est diviseur de 374

Réponse : …………………………………………………………………………………………………

4. Ensemble des diviseurs d’un entier naturel :

Soit D6 l’ensemble des diviseurs de 6

D6 =        1 – 6 – 2 – 3

Justifions : 1 x 6 = 6

2 x 3 = 6

3 x 2 = 6

D4 ensemble des diviseurs de 4 donne

D4=             1 – 4– 2                     1 x 4 = 4

2 x 2 = 4

D12 =          1 – 12 – 2 – 6 – 3 – 4

1 x 12 =12

2 x 6 = 12

3 x 4 = 12

4 x 3 = 12

D32 =           1 – 32 – 2 – 16 – 4 – 8

1 x 32 = 32

2 x 16 = 32

3 x ? = 32

4 x 8 = 32

5 x ? = 32

6 x ? =32

7 x ? = 32

8 x 4 = 32

Application :

Determine D5 ; D8 ; D20 ; D24 ; D75

D5 = ……………………………………………………………………………………………………………….

D8 = ………………………………………………………………………………………………………………

D20 = ………………………………………………………………………………………………………….

D24 = …………………………………………………………………………………………………………..

D75 = …………………………………………………………………………………………………………..

Les calculs se feront dans le cahier d’exercices

Remarque :

Tout entier naturel est diviseur de lui – meme

a = a x 1

Tout entier naturel est diviseur de 1

a = 1 x a

5) Diviseurs communs :

Activité :

Un cultivateur recolte 120 Kgs de pomme de terre et 90 kgs d’oignon. Pour le transport, il met sa recolte dans des sacs de 15 kgs. Combien de sacs de pomme de terre peut – il avoir ?

Reponse : ………………………………………………………………………………………………………………………..

Combien de sac d’oignons peut – il avoir ?

Reponse :………………………………………………………………………………………………………………………….

Complete ce tableau

120 = 15 x …….. + ………. 15 est ………………………de 120
90 = 15 x ………. + ……… 15 est ………………………de 90
15 est un diviseur ……………..…………………………………. de 120 et 90

 

Exemples :

16 = 2 x 8 donc 2 est diviseur de 16

14 = 2 x 7 donc 2 est diviseur de 14

2 est donc diviseur commun à 16 et 14

Retenons :

Si un entier naturel b est à la fois diviseur d’un entier naturel a et d’un entier naturel c alors b est diviseur commun à a et c

Application :

Montre que 17 est un diviseur commun à 136 et 204

Reponse : ……………………………………………………………………………………………………………………………..

IV. Nombres premiers

Activite :

Parmi les nombres entiers naturels suivants : 2, 3, 5, 4, 9, 12, 23, 41, lesquels n’ont que 2 diviseurs

Reponse : ………………………………………………………………………………………………………………………………..

1. Definition d’un nombre premier :

Un entier naturel est dit premier s’il n’a que deux diviseurs 1 et lui – meme

2. Exemples :

7 est un nombre premier, ses diviseurs sont 1 et 7

D7 =          1 – 7

D2 =          1 – 2          donc 2 est un nombre premier

D47 =       1 – 47       donc 47 est un nombre premier

Mais 9 n’est pas un nombre premier car D9 =          1 – 9 – 3

3. Crible d’Erathostène :

Erathosthène etait un mathematicien grec de l’ecole d’Alexandrie, vers 200 ans avant J.C.

Un crible est un tamis

C’est un instrument percé de trous, utilisé pour trier des grains, du sable…………..

Recherche des nombres premiers inferieurs à 100

Dans le tableau ci – dessous, on barre tous les multiples des nombres premiers connus : 2 – 3 – 5 – 7 – 11 – 13 – 17 – 19 – 23 – 29 – 31 …………………..etc

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Cette methode du crible d’Erathostene permet d’obtenir dans  l’ordre croissant tous les nombres premiers inferieurs à 100

Nombres premiers inferieurs à 100 : …………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. Reconnaître un nombre premier

Pour justifier qu’un nombre a est premier :

*Je divise a par les entiers naturels non nuls jusqu’à ce que le quotient soit inferieur au diviseur

*Si aucun d’eux ne le divise, alors j’en conclus que a est premier

Exemples :

 

2

421 est – il un nombre premier ?

 

02

01

1

210

421                                        421              3                       421             5                       421             7

12              140                      21           84                      01           60

01                                             1                                          1

1

 

 

421     11                           421     13                           421     17    421     19                  421    23

091      38                         031     32                        081     24      041     22    191    18

03                                          5                                        13                                3                               08

 

 

18  23 donc 421 est un nombre premier. 532 est – il premier ?

532     2

13       266                          532 n’est pas un nombre premier

12

0

Application :

Les entiers naturels suivants, sont – ils pemiers ?  Justifie 59 – 91 – 107 – 131 – 201

Reponse :

 

 

 

V. Decomposition d’un entier naturel en produit de facteurs premiers

1) Caractere de divisibilité

Un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unites est 0 – 2 – 4 – 6 ou 8

Exemples : ………………………………………………………………………………………………………………….

Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3

Exemples :…………………………………………………………………………………………………………………..

Un nombre est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou par 5

Exemples : ……………………………………………………………………………………………………………………….

2. Decomposition d’un nombre en produit de facteurs premiers :

Exemple ;

Decompose 120 en produit de facteurs premiers

120  2

0       60     2

0      30    2

0    15      3

0       5     5

0    1

 

J’arrete les divisions lorsque j’obtiens 1 comme quotient et j’ecris

 

Methode pratique

120   2

 

60   2

30   2

15   3

5    5

1

Application

Decompose en produit de facteurs premiers :

224 – 375 – 408 – 504 – 2350 – 4832

Reponses : (Voir cahier d’exercices)

VI. PPMC et PGDC de 2 ou 3 entiers naturels :

1) PPMC de 2 entiers naturels :

Le sigle PPMC signifie « Plus Petit des Multiples Communs »

Definition :

Le PPMC de 2 entiers naturels est egal au produit de tous les facteurs communs avec la plus grande puissance par les facteurs qui ne sont pas communs

Exemple : Calcule PPMC ( 48, 42)

 

48    2                                                                                                        42     2          PPMC

24    2                                                                                                        21     3

 

12    2                                                                                                        7       7

6      2                                                                                                        1

3      3

1

Application :

Calcule PPMC (32, 16)

Calcule PPMC (375, 250, 120)

Reponses :

 

 

2. PGDC de 2 entiers naturels

Le sigle PGDC signifie « Plus Grand des Diviseurs Communs »

Definition :

Le PGDC de 2 entiers naturels est egal au produit de tous les facteurs  communs avec la plus petite puissance

Exemple :

Calcule PGDC ( 120, 84)

 

120    2                                                                                                             84     2

60      2               120 =                                                                                   42     2

 

30      2                                                                                                             21     3

15      3               84 =                                                                                      7       7

5        5

1

PGDC (120, 84) =

= 12

Application :

Calcule PGDC  (12, 18)

Calcule PGDC (56, 60,16)

 

Serie d’exercices

Exercice 1 :

Justifie par une egalité que 7 est le quotient exact de 91 par 13

Exercice 2 :

Ecris l’egalite qui signifie que 140 est multiple de 20

Exercice 3 :

Trouve les multiples non nuls de 13 inferieurs à 89

Trouve les dix premiers multiples de 7

Prouve que 585 est un multiple de 13

Exercice 4 :

Trouve les cinq premiers multiples de 5

Trouve les cinq premiers multiples de 2

Ecris les multiples communs à ces deux ensembles

Exercice 5 :

Le nombre 84 est – il multiple de 12 ? Justifie – le

Quel est le plus grand multiple de 12 plus petit que 84 ?

Quel est le plus petit multiple de 12 plus grand que 84 ?

Exercice 6 :

Tu divises un entier naturel a par 37

Quel est le plus petit reste possible ?

Calcule le nombre a dans ce cas, sachant que le quotient est 23

Quel est le plus grand reste possible ?

Calcule le nombre a dans ce cas, sachant que le quotient est 23

Exercice 7 :

Trouve deux diviseurs de chacun des entiers naturels suivants :

12 – 21 – 30 – 49 – 105 – 207 – 110

Exercice 8 :

Trouve les diviseurs communs à

30 et 45                   ;                  60 et 90                        ; 35 et 56                   ;     12, 16 et 18

Exercice 9 :

Les nombres 97, 117, 113, 193 et 411 sont – ils premiers ?

Parmi les nombres suivants, quels sont ceux qui sont premiers :

61, 37, 57, 123, 245, 177, 129, 397

Exercice 10 :

Ecris  chacun des nombres 256 et 450 sous forme d’un produit de facteurs premiers

Decompose en produit de facteurs premiers

180, 200, 240, 36, 126, 1035

Exercice 11 :

Ecris chacun des produits suivants sous forme de produit de facteurs premiers

 

 

 

 

Exercice 12 :

Determine le PPMC de 12 et 18

Determine le PPMC de 14, 21 et 7

Calcule le PGDC ( 64 ; 100)

Calcule le PGDC ( 140 ; 182)

Exercices d’approfondissement :

Exercice 1 :

Existe t – il un nombre pair premier ?

Si oui, lequel ?

Tout nombre impair est – il premier ?

Si non, cite des cas

Exercice 2 :

Decompose 15 et 28 en produit de facteurs premiers

Calcule 15 x 28 puis decompose le resultat obtenu en produit de facteurs premiers

Compare les resultats obtenus

Exercice 3 :

Quels sont les nombres entiers naturels qui, divisés par 5, donnent un quotient égal au double du reste ?

Quels sont les nombres entiers naturels qui, divisés par 6, donnent un quotient egal au reste ?

Exercice 4 :

Lesquelles des egalites suivantes representent des divisions euclidiennes ?

 

 

 

Exercice 5 :

Trouve le PPMC des nombres a et b tels que

 

Trouve le PGDC des nombres c et d tels que

 

 

 

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Publié le 10 mai 2012, dans Uncategorized. Bookmarquez ce permalien. Commentaires fermés.

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